Mantık 2

SEMBOLİK (MODERN) MANTIK 

A. SEMBOLİK MANTIĞA GECİŞ B. ONERMELER MANTIĞI 1. Önerme ve Yapısı 2
A. SEMBOLİK MANTIĞA GECİŞ

B. ONERMELER MANTIĞI

  1. Önerme ve Yapısı
  2. Basit ve Bileşik Önermeler
  3. Önerme Eklemleri
  4. Çıkarım
  5. Sembolleştirme
  6. Yorumlama
  7. Doğruluk Çizelgesi
  8. Çözümleyici Çizelge (Ağaç Yöntemi)

C. NİCELEME MANTIĞI (YUKLEMLER MANTIĞI)

  1. Sembolleştirme
  2. Temel Kavramlar
  3. Temel Kurallar

D. COK DEĞERLİ MANTIK

  1. Üç Değerli Mantık
  2. Bulanık Mantık

Sembolik Mantık Çalışmalarının Başlaması Sembolik mantık klasik mantığın sembolleştirilmiş biçimidir. Aristoteles’in kurduğu klasik mantık, doğru olmakla birlikte, düşünmenin yalnızca bir biçimi olan kıyasla ilgilenmiştir. Yeni Çağda “Düşünme,kıyas turu çıkarımlarla sınırlandırılamaz.” şeklinde yapılan eleştiriler klasik mantık anlayışını sarsmıştır. Bu durum mantığı yeni arayışlara sürüklemiştir. Amaç, mantığı matematik gibi kesin sonuçlara götüren bir alan haline dönüştürmektir Klasik mantığın tekliğine karşılık, sembolik mantık birçok mantık sistemini içinde barındırmaktadır. Sembolik mantığın kapsamı içinde; iki değerli mantık (önermeler mantığı, niceleme mantığı), çok değerli mantık (üç değerli mantık, bulanık mantık) gibi mantık sistemleri yer alır. 

İfadeler (D/Y) 19. yy.ın ortalarına kadar doğa bilimlerinde ve matematikte büyük gelişmeler kaydedilmiştir……….. Aristoteles mantığı, düşünmenin bir yönü olan sembolleştirmeyle ilgilenmiştir. Klasik mantık, günlük dili kullanmasından dolayı tamamen içeriğin etkisindedir…………….. Klasik mantığın tekliğine karşılık, sembolik mantık birçok mantığı içinde barındırmaktadır……………. Sembolik mantık önermelerin içeriklerini dikkate almaz……………… 

B. ÖNERMELER MANTIĞI

1. Önerme ve Yapısı Önerme doğruluk değeri olan bir cümledir. Doğruluk değeri olan bir cümle ya doğru ya yanlış olur. Doğru ve yanlış değerlerini kendine doğruluk ölçütü olarak alan mantık sistemine iki değerli mantık denir. İki değerli mantık iki bölümde incelenir. Bunlar, önermeler mantığı ve niceleme mantığıdır. Önermeler mantığı, önerme eklemleriyle oluşmuş önermeleri ve çıkarımları ele alır. En basit biçimiyle önerme; özne konumunda bir terim, yüklem konumunda bir başka terim ve özneyle yüklemi birbirine bağlayan bağdan oluşur. Özne +Yüklem+Bağ Doğruluk değeri Örnek:Canlılar olumludur. Doğru Türkiye’nin başkenti Adana’dır. Yanlış 

2. Basit ve Bileşik Önermeler Önermeler mantığı, önerme eklemleri denilen mantıksal değişmezlerle (değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak) kurulan önermelerden oluşmuş mantıktır. Bu mantıksal değişmezler yardımıyla iki ya da daha fazla basit önermeyi birleştirmek suretiyle yeni bir bileşik önerme elde edilir. Klasik mantıkta tek yargı bildiren önerme basit, birden fazla yargı bildiren önerme bileşik kabul edilirken sembolik mantıkta önerme eklemi almayan önermeler basit, önerme eklemi bulunan önermeler bileşik kabul edilir. Önerme Klasik Mantık Sembolik Mantık Ahmet çalışkandır Basit önerme Basit önerme Ahmet çalışkan değildir Basit önerme Bileşik önerme 

“Ahmet çalışkan değildir” önerme eklemini almıştır.

3. “Ahmet çalışkan değildir” önerme eklemini almıştır Önerme Eklemleri Önerme Eklemlerinin İşlevleri: Sembolik mantıkta önerme eklemlerinin iki temel işlevi vardır. Birincisi, önerme eklemleri, iki ya da daha fazla basit önermeyi birleştirmek suretiyle bileşik önerme elde etmeye yarar. İkincisi, önermelerin tutarlılık, geçerlilik, eş değerliği ile çıkarımların geçerliliğini denetlemeyi sağlar.

Önerme Eklemi Günlük Dilde Kullanımı Örnek Önerme Değilleme Tümel

Önermenin
Tanımlanması
Değillleme
Değil
Dünya üçgen
değildir
Değilleme
Önermesi
Tümel
Evetleme
Ve
İzmir tarihi ve
turistik şehirdir.
Tümel Evetleme
Tikel
Veya
Ayşe sinemaya
veya tiyatroya
gidecektir.
Tikel Evetleme
Koşul
İse
Kübra dikkat ederse
başarılı olur.
Karşılıklı
Ancak ve ancak
Deniz seviyesinde
su ancak ve ancak
100 C’ de kaynar.
Karşılıklı Koşul

Önerme
Eklemi
Günlük Dilde
Kullanımı
Örnek Önerme
Önermenin
Tanımlanması
Değillleme
değil
Tümel
Evetleme
Tümel Evetleme
Önermesi
Tikel
Veya
Mehmet kitap
veya
gazete okuyacaktır.
Tikel Evetleme
Koşul
İse
Karşılıklı

4. Çıkarım Çıkarım; bir veya birden çok önermeden yeni önerme ya da önermeler elde etmektir. Bütün bitkiler canlıdır Bütün hayvanlar canlıdır. Marul bitkidir koltuk hayvandır. O halde marul da canlıdır O halde koltuk da canlıdır Yukarıda verilen örneklerin tamamı sembolik mantıkta çıkarım olarak kabul edilirken, klasik mantıkta sadece marul örneği çıkarım olarak kabul edilir. Çünkü, klasik mantık çoğunlukla içeriğin etkisindedir. Sembolik mantıkta bu durum söz konusu değildir.

5. Sembolleştirme Mantık Değişmezler: Önermeler ve Çıkarımın Sembolleştirilmesi Her bir önerme ve önerme eklemine karşılık olabilecek semboller belirlenmiştir. Önermeler için belirlenen semboller: p, q, r, s, t, vb. harfler olsun. Önerme eklemleri için belirlenen semboller: “ve” için “Λ “, “veya” için “V”, “ise” için “→, “ancak ve ancak” için “↔” “değil” için “~ “; “o halde” için “∴ ” sembolü kullanılır.

Örnekler: -Ahmet, Adıyamanlıdır
Örnekler: -Ahmet, Adıyamanlıdır. = p -Ahmet ve Hakan Adıyamanlıdır = p ∧ q -Ahmet Adıyamanlı değildir = ∼p -Ahmet Adıyamanlı ise Hakan da Adıyamanlıdır = p → q -Ancak ve ancak yağmur yağarsa dağlar ıslanır. = p ↔ q -Ahmet veya Hakan Adıyamanlıdır. = p ∨ q -Ahmet , Hakan , Yasin veya Hüseyin Adıyamanlıdır = p ∨ q ∨ r ∨ s -Çalışır isen kazanırsın. = p → q -Gelsen de göremezsin = p → ∼q

~ ~ p Λ p∧q p∨q → p→q ↔ p ↔q Önerme Eklemi Sem bolü Örnek Önerme değil
Günlük Dilde
Kullanımı
Örnek Önerme
Sembolik Mantıkta
Önermenin
Tanımlanması
Değillleme
~
değil
Hava yağmurlu
değildir.
~ p
Değilleme
Önermesi
Tümel
Evetleme
Λ ve
Ahmet öğrenci ve
sporcudur.
p∧q
Tümel Evetleme
Tikel
veya
Ayşe kitap okuyacak
veya yürüyüş
yapacaktır.
p∨q
Tikel Evetleme
Koşul

ise
Ağaç çiçek acar
ise meyve verir.
p→q
Karşılıklı

Ancak ve ancak
Kar yağmıştır ancak
ve ancak hava
soğumuştur.
p ↔q
Karşılıklı Koşul

p∨q p∧∼q p→p q↔∼p (p∨q) →∼q p∧ (q→∼s) (p∧q) →(q∧p) ∼p p Λ q Sembolü
Günlük Dildeki Önerme
p∨q
p∧∼q
p→p
q↔∼p
(p∨q) →∼q
p∧ (q→∼s)
(p∧q) →(q∧p)
∼p
p Λ q

Çıkarımın Sembolleştirilmesi: Günlük dildeki çıkarımları sembolleştirmek için çıkarımdaki öncüller ve sonuç önermesi tespit edilir. Her bir önermeye p, q, r, s gibi bir ad verilir. Birinci öncül, ikinci öncüle koşul eklemi ile bağlanır. Sonuç önermesindeki “O hâlde” ifadesi “∴” işaretiyle gösterilir. Her öğrenci çalışırsa başarır (p→q) Hülya çalışkan bir öğrencidir (p) O hâlde Hülya başarır ∴q Bütün kanatlılar uçar ………………. Kedi kanatlıdır ………………… O hâlde kedi de uçar …………………

D/Y 1 Her bir basit önerme; p, q, r, s gibi harflerle gösterilmiştir……… 2 “Ve” eklemi, “∨” işaretiyle gösterilmiştir………… 3 “Veya” eklemi, “∧” işaretiyle gösterilmiştir………….. 4 Koşul anlamındaki “ise” eklemi, “→” işaretiyle gösterilmiştir………… 5 Karşılıklı koşul anlamındaki “ancak ve ancak” eklemi, “→” işaretiyle gösterilmiştir…………. 6 Önermelerdeki her bir ad (özne) veya yüklem, ayrı bir harf ile gösterilmiştir…….. 7 Yüklemin onaylanmadığı “değil” eklemi, “∼” sembolü ile gösterilmemiştir…….. 8 Bileşik önermeler, bileşik önermede yer alan basit önerme sayısı kadar harf ile sembolleştirilmiştir…………….. 9 İfadelerde “virgül” işareti, “ve” ya da “veya” anlamına gelecek şekilde kullanılmıştır……… Bir önermede önerme eklemi kullanılmışsa, önerme birden fazla harf ile sembolleştirilmiştir……………

GENEL KURALLAR

  1. Önerme sembolleri p, q, r, s gibi harflerle sembolleştirilir.
  2. Önerme eklemleri ∧, ∨, →, ↔, ∼ gibi işaretlerle sembolleştirilir.
  3. Bileşik önermelerde geçen her bir ad ve yüklem, basit birer önerme kabul edilir ve ona göre sembolleştirilir.

Önermeler Sembolleştirilmiş Hali 1-Güneş doğarsa gün başlar
Önermeler Sembolleştirilmiş Hali 1-Güneş doğarsa gün başlar ……………………………………… ve 7 tek sayıdır ……………………………………… veya 7 tek sayıdır ………………………………………… 4 -α geometriyle ilgili bir terimdir ………………………………………… 5- Yer çekimi yoksa taşlar düşmez ………………………………………… 6- Evrensel çekim varsa gezegenler hareket eder ……………………………………… Zaman, her şeyin ilacı değildir ………………………………………. 8-Bugün cumartesidir ……………………………………… 9 Bugün salı ise yarın çarşambadır ……………………………………… Bugün ancak ve ancak salı ise yarın çarşambadır ………………………………………

Ana Eklem ve Ana Bileşenler Önerme eklemleriyle kurulan bileşik önermelerin temelinde en az bir basit önerme vardır. Bileşik önermeleri oluşturan önermelere o önermenin ana bileşenleri denir. önerme ekleminden önceki önerme ön bileşen, sonraki önerme art bileşen adını alır. Bileşenleri bağlayan temel önerme eklemine de ana eklem denir. Bir önermenin ne tür bir önerme olduğunu belirlemek için önce onu oluşturan ana eklemi belirlemek gerekmektedir. Örnek:

Önermeler Ana Eklem Ana Bileşenler ∼p ∼p∧q (∼p∨q) → (q∨p) → ∼p∨q q∨p

Hava güneşlidir. D Hava güneşli değildir değil (~) Y P ∼p D Y

  1. Yorumlama Önermelerin doğru veya yanlış değerlerden hangisini aldığını belirlemeye yorumlama denir. Yorumlama işleminde “doğru” kısaca “D” ile, “yanlış” kısaca “Y” ile gösterilir. Değilleme Eklemi “~” (Değil): Değilleme önermesi tek bileşenli bileşik önermedir. ~ p
    Önerme
    Önerme Eklemi
    Doğruluk Değeri
    Hava güneşlidir.
    D
    Hava güneşli değildir
    değil
    (~)
    Y P ∼p D Y

(~) (~ ~) D Y Önerme Önerme Eklemi Doğruluk Değeri p ∼p ∼∼p D Y
Çifte değilleme kuralını da katarak yeni bir doğruluk çizelgesi oluşturalım: bir önermenin değilinin değili kendisidir.
Önerme
Önerme Eklemi
Doğruluk Değeri
Domates sebzedir.
D
Domates sebze değildir.
değil
(~)
Y
Domates sebze olmayan
değildir.
olmayan değildir.
(~ ~)
p ∼p
∼∼p
D Y

Tumel Evetleme Eklemi “Λ” (ve) Bir tümel evetleme önermesinin “D” yorumu alabilmesi için her iki önermenin de aynı satırda “D” olması gerekir. Tümel evetleme önermesi tüm diğer durumlarda “Y” değeri alır. Bu, görseldeki suyun akışına benzer. En alta su akabilmesi için göletlerin her ikisinin de kanallarının açık olması gerekir.

Önerme
eklemi
Doğruluk
değeri
Ahmet çalışkandır.
ve
Ahmet başarılıdır.
D Λ
Ahmet başarılı değildir
Y
Ahmet çalışkan değildir
Ahmet başarılı değildir.
P q
p∧q
D Y

Tikel Evetleme Eklemi “V” (veya) Tikel evetleme eklemi günlük dilde “veya” , “ya da” sözcüğü yanında “ya…ya”, “yahut” gibi sözcüklerle de ifade edilir. Tikel evetleme önermesinde iki önermeden biri “D” değeri alıyorsa sonuç “D”, her iki önerme de “Y” değeri alıyorsa sonuç “Y”dir. P q
p∨q
D Y

Koşul Eklemi ” →” (ise) Koşul eklemi günlük dilde “ise” sözcüğü yanında “yeter ki”, “için…gereklidir”, “koşuldur” gibi sözcüklerle de ifade edilir. Koşul önermesinde önermelerden ilki “D”, ikincisi “Y” ise sonuç “Y”dir. Diğer durumlarda sonuç “D”dir P q
p→q
D Y

Karşılıklı Koşul Eklemi “ ↔” Karşılıklı koşul eklemi günlük dilde “ancak ve ancak” sözcüğü yanında “gerekli ve yeterli koşul”, “tek koşullu”, “birbirini gerektirip” gibi sözcüklerle de ifade edilir. Karşılıklı koşul önermesinde her iki önerme de aynı doğruluk değerini alırsa sonuç “D”, diğer durumlarda sonuç “Y”dir. P q
p↔q
D Y

28 p q ∼p ∼q
pΛq
∼p∨∼q
p→q
q↔p
D Y
n= n= n=3 Formülü

Soru: Aşağıda verilen önermelerde; p’nin yerine D, q’nun yerine de Y değerlerini vererek önermeleri “a“ seçeneğindeki çözümü dikkate alarak çözümleyiniz.

7. Doğruluk Çizelgesi (Tutarlılık, Geçerlilik, Eşdeğerlilik ) a) Tutarlılık Denetlemesi Doğruluk tablosundaki önermenin yorumlanmasında önerme en az bir doğru değeri alıyorsa buna tutarlı önerme denir. Eğer hiçbir satırda doğru (D) yorum yoksa bu önermeye tutarsız önerme denir. Verilen bir önermenin tutarlılığının denetlenmesi aşağıdaki şekilde yapılır: Sonuç Sütunu Sonuç: Önerme, sonuç sütununda en az bir tane “D” değeri aldığı için tutarlıdır. P q
(p∧q)
(p→q)
(p∧q)∨ (q→p)
D Y

Önermelerin birlikte tutarlılığı: Birden fazla önermenin birlikte tutarlı olabilmesi için sonuç satırlarının en az birinde her iki önermenin de “D” değeri alması gerekir Sonuç: Her iki önerme de ilk satırda “D” yorumu aldığı için bu iki önerme birlikte tutarlıdır. p q
(p∧q)
(q→p)
D Y

p q (p∨q) (p→q) (p∨q)∨ (p→q) D Y
Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi Bir önermenin bütün yorumlamaları doğru değerini alıyorsa yani yanlışlaşıcı yorumu yoksa önerme geçerlidir. Geçerli önermeler topolojidir yani bütün yorumlamaları doğru olan önermeye topoloji denir Sonuç : Bileşik önermenin sonuç bölümü, tüm satırlarında “D” yorumu aldığı için geçerlidir. Sonuç bölümünün hepsi “D” olduğu için önerme aynı zamanda topolojidir.
p q
(p∨q)
(p→q)
(p∨q)∨ (p→q)
D Y

Önermelerin Eş Değerliğinin Denetlenmesi Verilen iki önermenin doğruluk değerleri her satırda aynı ise yani her iki önerme de aynı anda aynı doğruluk değerini alıyorsa bu iki önerme eş değerdir. Eş değerlik (≡) sembolüyle gösterilir Sonuç: Her iki önermenin sonuç bölümleri aynı satırda aynı doğruluk değeri aldığı için bu iki önerme eş değerdir. p q ∼p
(p∨q)
(∼p→q)
D Y

p q (p→q) (p∨q) [(p→q)∧(p∨q)] [(p→q)∧ (p∨q)] →q D Y
Çıkarımın geçerliliğinin Denetlenmesi Bir çıkarımın geçerli olabilmesi için öncüllerin ve sonucun birlikte doğru olması gerekir 1 Yol: Çıkarımın öncül önermeleri ve (∧) eklemiyle birbirine bağlanır. Elde edilen bu bileşik önerme, sonuç önermesine ise (→) eklemiyle bağlanır. (p→q), (p∨q)∴q çıkarımının geçerli olup olmadığını birinci yolu kullanarak denetleyelim Sonuç: Çıkarım tüm satırlarda “D” değeri aldığı için geçerlidir.
p q
(p→q)
(p∨q)
[(p→q)∧(p∨q)]
[(p→q)∧ (p∨q)] →q
D Y

(Değillenmiş Sonuç) ∼q D Y

  1. Yol: Öncüller birleştirilmez ve değiştirilmez fakat sonucun değili alınır. (p→q), (∼p∨q)∴ q çıkarımının geçerli olup olmadığını ikinci yolu kullanarak denetleyelim Sonuç: Öncüller ile değillenmiş sonuç önermeleri aynı satırda birlikte “D” değeri aldıkları için çıkarım geçersizdir. Hiçbir satırda birlikte “D” değeri almasaydı geçerli olacaktı.
    p q ∼p
    (1.öncül) (p→q)
    (2.öncül)(∼p∨q)
    (Değillenmiş Sonuç) ∼q
    D Y

8. Çözümleyici Çizelge (Ağaç Yöntemi) Çözümleyici Çizelge ile Denetleme Önermenin veya çıkarımın bileşen sayısı ve önerme eklemi sembolleri arttıkça doğruluk tablosuyla denetleme zorlaşır ve çözümlemede uzun ve karmaşık bir yol olarak karşımıza çıkar. Mantıkta bu uygulamadaki zorluğu ortadan kaldırmak için çözümleyici çizelge adı verilen daha kısa ve güvenli bir denetleme yöntemi geliştirilmiştir. Bu denetleme yöntemine çözümleyici çizelge ile denetleme denir. De Morgan Denklik Kuralları
Önerme Türü
Örnek
Tümel veya Tikel
Evetleme Eş Değeri
Tümel Evetleme Değilleme Ö.
∼(p∧q)
(∼p∨∼q)
Tikel Evetleme Değilleme Ö.
∼(p∨q)
(∼p∧∼q)
Koşul önermesi
(p→q)
(∼p∨q)
Koşul Değilleme Önermesi
∼(p→q)
(p∧∼q)
Karşılıklı Koşul Önermesi
(p↔q)
(p∧q)∨(∼p∧∼q)
Karşılıklı Koşul Değilleme Ö.
∼(p↔q)
(p∧∼q)∨(∼p∧q)

Çözümleyici Çizelge Kuralları

Çözümleyici Çizelge ile Denetleme Kuralları Tablosu

Alt Alta Yazma Kuralları
Tümel evetlemenin
çözümleme kuralı
Tikel evetlemenin değillemesinin
Koşullu değillemesinin

Çatal Açma Kuralları
Tikel evetlemenin
çözümleme kuralı
Tümel evetlemenin değillemesinin
Koşullunun
Karşılıklı koşullunun
Karşılıklı koşullu değillemesinin

Çözümleyici Çizelge ile Denetlemede İşlem Sırası
Çözümleyici Çizelge ile Denetlemede İşlem Sırası * Çözümlenecek ana önermenin sağına “Ö” koy! * Çözümlenecek önermenin ana eklemini (ön ve ard bileşenini) belirle! * Çengel kuralını, çatal kuralından önce uygula! * Hangi önermeyi çözümleyeceğini adım numarası ile göster! * Çözümleme sonunda elde ettiğin önermelerin kaynak numarasını göster! * Yaptığın her çözümlemeden sonra aynı yol üzerinde “p” ve “∼p” gibi birbiriyle çelişen önermeler olup olmadığını kontrol et! Bu basamaklara dikkat edilmeden yapılan bir çözümleme yanlış sonuç verir.

Tutarlılık, Geçerlilik, Eş Değerlik I) Önermelerin Tutarlılığı Verilen önerme, çözümleyici çizelge kurallarına göre çözümlenir. Yollardan biri açık ise önerme tutarlıdır. Aşağıda verilen (p∧q)∧(∼p→q) önermesinin tutarlılığını denetleyelim.
Sonuç: Önerme, yolların her ikisinde de çelişen önermeler olmadığından yani tüm yollar açık olduğundan tutarlıdır. (Önermenin sonundaki “ ↓” işareti yolun açık olduğunu gösterir).

Birden Fazla Önermenin Birlikte Tutarlılığı (p∧q) ve (q→p) gibi iki önermenin birlikte tutarlı olabilmesi için önermeler alt alta yazılır. Çözümleme sonunda yollardan en az biri açık ise önermeler birlikte tutarlıdır.
Önermeler, yollardan biri açık olduğundan birlikte tutarlıdır. (x) işareti ile kapatılan yol ise hem “∼q” hem de “q”nun aynı yol üzerinde olduğu anlamına gelir. “p”nin altındaki “ ↓” işareti ise aynı yol üzerinde hem “p” hem de “∼p”nin olmadığını gösterir.

Önermelerin Eş Değerliği İki önermenin birbirine denk (eş değer) olabilmesi için karşılıklı bir ilişki içinde olması gerekir. Bunun için önermeler karşılıklı koşul eklemiyle birbirine bağlanır ve elde edilen büyük bileşik önermenin değili alınır. İşlem sonunda önermelerin denk olabilmeleri için tüm yolların kapalı olması gerekir. Örnek: (p∨q) ile (p→q) önermesi denk (eş değer) midir?

Önermelerin Geçerliliği Bileşik önermelerin geçerliliğini denetlemek için önermelerin tümünün değili alınır ve işlem sonunda yollar kapalı ise önerme geçerli, yollardan en az biri açık ise önerme geçersizdir.
Örnek: (p∧q) → (q→p) önermesi geçerli midir?
Örnek: (p∨q) ∨ (∼p∧∼q) önermesi geçerli midir?

Çıkarımların Geçerliliği Çıkarımın her bir öncülünün ve sonucunun değili alt alta yazılır. Çözümleme sonunda tüm yollar kapalı ise çıkarım geçerli, değilse çıkarım geçersizdir. Çünkü yollardan birinin açık olması, değillenmiş sonuç ile öncüllerin aynı anda doğru olması anlamına gelir.
Örnek: (p∧∼q), (p→q) ∴p çıkarımı geçerli midir?

C. NİCELEME MANTIĞI (YÜKLEMLER MANTIĞI)

Önermeler mantığı, önermeleri ve çıkarımları nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Niceleme mantığı, önermeler mantığının bu tur eksikliklerini ortadan kaldırarak önermelerin ve çıkarımların daha ayrıntılı sembolleştirilmesini sağlar. Ayrıca niceleme mantığında önermeler mantığı değişmezlerine (değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak) niceleyiciler (her, bazı) de eklenerek iki değerli mantık genişletilir. Niceleme mantığına, önermeleri özne-yüklem ilişkisi açısından ele aldığı için yüklemler mantığı da denir.

İfadeler (D/Y) Önermeler mantığı, nicelikleri temsil etmede yetersizdir………. “Bazı hayvanlar beslenir.” önermesi, önermeler mantığına göre yapı açısından basit bir önermedir………… Niceleme mantığı, önermeleri p, q, r, s gibi harflerle sembolleştirdiği için bu mantıkta önermelerin nicelikleri de sembolleştirilmiş olur……….. Niceleme mantığı “bazı”, “hiçbiri”, “hepsi”, “tümü” gibi niceliklerin sembolleştirilmesini sağlar………… Önermeler mantığı önerme ve çıkarımları niceleme mantığına göre daha ayrıntılı sembolleştirir………. Bazı önermeler sembolik mantıkla daha ayrıntılı sembolleştirilir……….. Bir önermeyi niceleme mantığında sembolleştirmek için önerme eklemleri yeterlidir………..

1. Sembolleştirme Niceleme mantığında bir önermeyi veya çıkarımı sembolleştirmek için ihtiyaç duyulan mantık değişmezleri şunlardır: 1) a, b, c, d gibi ad sembolleri 2) F, G, H gibi yüklem sembolleri 3) Tümel niceleme için A, tikel niceleme için E olmak üzere iki adet niceleme işareti 4) ∧, ∨, → gibi önerme eklemleri 5) Belirsiz olan adları göstermek için kullanılan x, y, z gibi harf değişkenleri

Hava karlı ise kartopu oynayacağım
Hava karlı ise kartopu oynayacağım. a F → b G Fa→ Gb Emre ve Elif kardeştir Fab ( 2’li yüklem ) a b F

Hasan’ın şoför olduğu doğru değildir. ~p ∼Fa
Önermeler mantığında önermeler, önerme eklemleri esas alınarak sembolleştirilirken; niceleme mantığında ise önerme eklemlerinin yanı sıra özne, yüklem ve niceleyiciler ayrı ayrı sembolleştirilir.
Önermeler
Önermeler Mantığı
Niceleme Mantığı
Osman ressamdır.
p Fa
Hasan’ın şoför olduğu doğru değildir.
~p
∼Fa
Yerçekimi varsa bütün cisimler ağırdır.
p→q
Fa→∀xFx
Bazı cisimler ağırdır.
ExFx
pΛq
FaΛGa

2.Temel Kavramlar *Önermelerde belirsiz olan özneyi göstermek için kullanılan x, y, z gibi sembollere değişken denir. *Özneyi gösteren sembollere ad değişmezi denir. Örnek: “Ozlem terzidir.” onermesinde Ozlem (a) belirli bir kişiyi gösterir. *Yüklemi gösteren sembollere yüklem değişmezi denir. Örnek: “Özlem terzidir.” önermesinde terzi (F) yüklemdir. Önerme “Fa” biçiminde sembolleştirilir. * İçinde x, y, z gibi değişken gecen önermelere acık önerme denir. Örnek:“x terzidir.” * Belirli bir doğruluk değeri taşıyan önermelere kapalı önerme denir. “x terzidir.” acık önermesinde x yerine konulan terim onu kapalı önerme yapar. Örnek: Özlem (x) terzidir.

* Bir açık önermeyi, kapalı önerme haline getirmek için kullandığımız tüm değerler kümesine evren denir. E: {} biçiminde gösterilir. Örnek: E: {Ahmet, kedi,Ayşe, ağaç, taş, Meltem… } *Evrende bulunan değerlerin (terimlerin) değişkenin yerine konulmasına özelleme denir. Böyle elde edilen önermeye de özelleme önermesi denir. Örnek:Meltem terzidir. *Evrenden seçilen değerlerin bir kısmı önermeyi doğrularken bir kısmı yanlışlar. Evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme önermesini doğrulaması haline gerçekleme denir. Örnek: Kedi terzidir………. özelleme yanlıştır. Ahmet terzidir…………..Özellem doğrudur.(gerçekleme) *Bir açık önermede evrendeki her değer için bir özelleme önermesi elde edilir. Bu özellemelerin toplamına açılımı denir. Örnek:Taş terzidir! Ayşe terzidir! Ağaç terzidir…

Tümel niceleyici “∀ ” sembolüyle gösterilir ve bu sembol tüm, bütün, her, hiçbir, hepsi vb. anlamlarına gelir. Tikel niceleyici “Ǝ” sembolüyle gösterilir ve bu sembol bazı, kimi, bir kısmı vb. anlamlarına gelir.

Niceleme Mantığına Göre Önermelerin Genel Çözümleme Kuralları Tümel Evetleme Önermesi Değillenmiş Tümel Evetleme Önermesi Tikel Evetleme Önermesi Değillenmiş Tikel Evetleme Önermesi

Koşul Önermesi Değillenmiş Koşul Önermesi Karşılıklı Koşul Önermesi Değillenmiş Karşılıklı Koşul Önermesi

C. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

Geleceğe yönelik kurulan önermeler örneğin, “Yarın kar yağacak.” gibi bir önerme ne doğru ne de yanlıştır. Bu durumda doğru veya yanlış değerlerin yanında başka değerlerin de kabul edilmesi gerekir. İkiden fazla değer olduğunu kabul eden mantık sistemlerine çok değerli mantık denir. Çok değerlilik; “çok doğru”, “az doğru”, “belirsiz”, “doğruya yakın”, “yanlışa yakın” doğruluk değerleriyle ifade edilebilir. Dört değerli mantık sisteminde doğru ve yanlış yanında doğruya yakın ve yanlışa yakın değerleri söz konusudur. Olasılık mantığında ise iki değer arasında sonsuz sayıda olasılık değeri vardır. Çok değerli mantık sistemleri içinde en çok kullanılanı ise üç değerli mantıktır:

1. Üç Değerli Mantık “Yarın sana geleceğim.” ifadesi, hava tahmin raporları gibi yalnızca ihtimallerin gerçekleşme olasılıklarını bildirir. “Muhteşem Süleyman dizisi güzeldir.” gibi ifadeler öznellik taşır. Bu tür öngörü veya öznellik ifade eden veya kesin bir yanıtı olmayan bildirimleri doğru veya yanlış olarak değerlendiremeyiz. Klasik mantık, bu durumda bu ifadelerin bir önerme olamayacağını söyler. Fakat üç değerli mantık, “doğru” ve “yanlış”ın dışında “belirsiz” değerini de kabul eder ve bu tür geleceğe dair öngörüleri, öznel yargıları veya doğruluğu kesin olarak ortaya konulamayan bildirimleri de önerme olarak kabul eder.

Doğru ve Yanlış Arasında Süreklilik İkili Birimler Bulanık Birimler

2. Bulanık Mantık ‘ların ortalarında iki değerli mantık ve olasılık teorisinin eksikliğini gidermek için bulanık mantık geliştirilmiştir. Olasılık mantığında önermelerin doğruluğu veya yanlışlığı değil ancak olasılık düzeyi bilinebilir.

Klasik Mantık ile Bulanık Mantık Arasındaki Temel Farklılıklar

Klasik Mantık
Bulanık Mantık
A veya A Değil
A ve A Değil
Kesin
Kısmi
Hepsi veya Hiçbiri
Belirli Derecelerde
Doğru veya Yanlış
Doğru ve Yanlış Arasında Süreklilik
İkili Birimler
Bulanık Birimler

Bulanık mantık kuramının kurucusu, Azeri asıllı Amerikalı bilim insanı Lütfi A. Zadehʼdir. Zadeh’e göre bulanık mantık çoklu değerliliktir. Klasik mantığın yanlış-doğru önermelerine karşılık bulanık mantık, üç veya daha fazla sayıda önerme oluşturur. Bulanık mantığın başlıca özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: * “Doğru” , “çok doğru” , “az çok doğru” gibi sözel olarak ifade edilen doğruluk derecelerine sahip olması, * Geçerliliği kesin değil fakat yaklaşık olan çıkarım kurallarına sahip olması, * Her kavramın bir derecesi olması, * Her mantıksal sistemin bulanıklaştırılabilmesi, * Bilginin, bulanık kısıtlamalara ait değişkenlerin esnekliği veya denkliğiyle yorumlanması.

Mantığın Uygulama Alanları

Matematik ve Mantık

Matematik ve mantık, tarihsel olarak, birbirinden bağımsız disiplinler olarak ortaya çıkmıştır. Ancak ikisi de modern çağlarda gelişmiştir: Mantık daha matematiksel ve matematik daha mantıksal hale gelmiştir. Sonuçta artık ikisinide birbirinden ayırmak neredeyse imkansızdır; aslında ikisi de birdir… Bunun kanıtı tabii ki teknik detaydır. – Bertrand Russell

Yunanca ‘ Logike’ kelimesinin Arapça tercümesi olan ‘Mantık’ kelimesi, bir düşünme tarzını belirtmekle beraber bir bilime de ad olmaktadır. İnsan yaradılışından bu yana mantıklı düşünebildiği halde bilim olarak gelişmesi ise Antik Yunan döneminde Aristoteles (M.Ö. 384 – 322) ile kabul görür. Bilimsel olarak ele alındığında ‘Gerçeği ararken yapılan zihin işlemlerinden hangilerinin doğru ve hangilerinin yanlış olduğunu gösteren bir bilimdir.’ diye ifade edilir. Bir başka deyişle ‘Mantık’, akıl yürütmenin temel ilkelerini ortaya koyarken bir yandan da akıl yürütmelerimizin düzgün olup olmadığını kontrol eden bir sisteme sahiptir.

Mantık, akla dayalı doğru düşünmenin tespitini yaparken, düşünmeyi ifade eden dil üzerinde durur. Biz fikirlerimizi sözler ile ifade ederken diğer yandan duygularımızı da ifade etmiş oluruz. Bu sebeple konuşulan dilin yanıltıcı, aldatıcı yanlarından arınmak için zaman içinde ‘Mantık’ konuşma dilinden farklılaşarak sembolik dil olma yoluna girer.

De Morgan (1806 – 1876), bilhassa Boole (1815 – 1864) ve Stanley Jevons (1835 – 1882) ile başlayan sembolik mantık çalışmalarında hedef  matematik temelli bir sistem ile mantığı yeniden kurmaktır. Aristoteles ile başlayan ‘Klasik Mantık’ düşünmenin tespiti ile felsefenin bir koluyken zaman içindeki gelişimleri ile felsefeden ayrılıp, ‘Sembolik Mantık’ (Modern Mantık) ile matematik, fizik gibi bilim dallarının da çalışma alanına girer.

Günümüz matematik lise müfredatında da öğretilen “İki Değerli Mantık” ise G. Frege (1845 – 1945) tarafından kurulmuştur.

İki değerli mantıkta, bir önerme (p,q,r,…)  gerçeklikle uyuşuyorsa doğruluk değeri olarak ‘doğru’ (1 veya D) aksi durumda ‘yanlış’ değeri (0 veya Y) ile ifade edilir.

Mantığın uygulama alanlarını da bir kaç başlık altında inceleyebiliriz.

a) Pratik Yaşayış: İnsana eleştirel düşünme, akılcı tartışma, sorular sorma ile varolan bilgileri ve işleri pratik-sezgisel bir şekilde öğrenmeyi sağlamaktadır.

b) Bilim Alanı: Mantık her çeşit bilimin, matematik gibi a priori (formel) bilimlerin olduğu kadar, fizik gibi ampirik bilimlerin, doğa ve mühendislik bilimlerinin olduğu kadar sosyal bilimlerinin de temellendirilmesinde kullanılmaktadır.

c) Teknik Alanı: Her türlü elektrik devrelerinin, elektronik beyinlerin (bilgisayar ve akıllı telefonlar gibi) teorisine uygulanmaktadır.

d) Felsefe: Bilgi kuramından metafiziğe, ahlaktan siyasete kadar tüm alanlarda kullanılan mantığın felsefedeki en büyük görevi kavram analizidir.



Random Posts

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*
*